ما الفرق بين القاسم المشترك والمضاعف المشترك؟

القاسم المشترك الأكبر هو أكبر عدد يقسم جميع الأعداد بلا باقٍ (يصغر أو يساوي أصغرها). المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد تقسمه جميع الأعداد بلا باقٍ (يكبر أو يساوي أكبرها).

كيف يُحسب القاسم والمضاعف لـ8 و12؟

القاسم المشترك الأكبر = 4 لأنه أكبر عدد يقسم 8 و12 معاً. المضاعف المشترك الأصغر = 24 لأنه أصغر عدد من مضاعفات الاثنين. وتحقّق: 8 × 12 = 96 = 4 × 24.

ماذا يحدث لو كان القاسم المشترك يساوي 1؟

هذا يعني أن الأعداد «أولية فيما بينها» أي لا تشترك في أي قاسم غير الواحد، وعندها يكون المضاعف المشترك الأصغر هو حاصل ضربها مباشرة. مثال: 8 و15 قاسمهما 1 ومضاعفهما 120.

هل يمكن إدخال أكثر من عددين؟

نعم، أدخل ثلاثة أعداد أو أكثر مفصولة بفاصلة أو مسافة، وتُحسب العمليتان على القائمة كلها بالتدريج.

كيف يتعامل الحساب مع الأعداد السالبة؟

يستخدم قيمتها المطلقة، لذلك −12 و18 يعطيان القاسم 6 والمضاعف 36. الإشارة لا تغيّر قابلية القسمة.

كيف أتحقق من نتيجتي لعددين؟

اضرب القاسم في المضاعف؛ يجب أن يساوي حاصل ضرب القيمتين المطلقتين. للعددين 12 و18: ‏6×36 = 216، وكذلك 12×18 = 216.

ماذا يعني إدخال الصفر مع عدد آخر؟

قاسم 0 والعدد ن هو |ن|، لأن كل عدد يقسم الصفر. أما المضاعف المشترك الأصغر فيكون 0 لأن الصفر مضاعف لكليهما.

الرياضيات والأرقام

حاسبة القاسم والمضاعف المشترك

أدخل عددين أو أكثر واحصل على القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر في خطوة واحدة، مع نتيجة جاهزة للمسائل المدرسية.

آخر تحديث: 2026-06-08مبني على 2 مصادر رسميةعرض المصادر

احسب القاسم والمضاعف المشترك

2 عدد

الأعداد الصحيحة

أدخل عددين صحيحين على الأقل، مفصولين بفاصلة أو مسافة أو سطر جديد. مثال: 12، 18.

2 عدد

القاسم المشترك الأكبر: 6
المضاعف المشترك الأصغر: 36

أدخل أعداداً صحيحة فقط؛ الكسور العشرية غير مقبولة. إذا كان أحد الأعداد صفراً فالمضاعف المشترك يساوي صفراً.

الإجابة المختصرة

ما القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر للعددين 12 و18؟

القاسم المشترك الأكبر هو 6، والمضاعف المشترك الأصغر هو 36. العدد 6 يقسم 12 و18 بلا باقٍ ولا يوجد قاسم مشترك أكبر منه. والعدد 36 هو أول مضاعف موجب يظهر في قائمتي مضاعفات العددين: 12، 24، 36 و18، 36.

المعادلة

المضاعف المشترك الأصغر = |أ × ب| ÷ القاسم المشترك الأكبر

يُستخرج القاسم بخوارزمية إقليدس من بواقي القسمة. نقسم قبل الضرب في حساب المضاعف لتقليل حجم الأرقام، وتُستخدم القيم المطلقة للمدخلات السالبة.

مثال محلول

المدخل: العددان الصحيحان 12 و18.

18 ÷ 12 يترك الباقي 6.
12 ÷ 6 لا يترك باقياً، إذن القاسم المشترك الأكبر 6.
المضاعف = (12 × 18) ÷ 6 = 36.

النتيجة: القاسم المشترك الأكبر 6، والمضاعف المشترك الأصغر 36.

حدود الاستخدام

الأداة مخصصة للأعداد الصحيحة؛ لا يُعرّف القاسم والمضاعف هنا للكسور العشرية.
يجب إدخال عددين على الأقل، ولا تقبل قائمة كلها أصفاراً.
وجود صفر يجعل المضاعف المشترك الأصغر صفراً وفق تعريف الأداة.

إصدار المعادلة: gcd-lcm@2026.1آخر مراجعة: 2026-06-08Encyclopædia Britannica — Greatest common divisor NIST Digital Library of Mathematical Functions — Number theory

العمليتان متلازمتان وتظهران في مسائل عملية لا في الكتب فقط. لو أردت تقطيع لوحين طولهما 12 و18 سنتيمتراً إلى قطع متساوية بأكبر طول ممكن دون فاقد، فالجواب هو القاسم المشترك الأكبر = 6. ولو رنّ منبهان كل 12 و18 دقيقة وانطلقا معاً الآن، فسيجتمعان مجدداً بعد المضاعف المشترك الأصغر = 36 دقيقة. القاسم يخبرك بأكبر وحدة تقسّم كل الأعداد بلا باقٍ، والمضاعف يخبرك بأصغر عدد تقسمه كل الأعداد بلا باقٍ. أدخل الأعداد مفصولة بفاصلة أو مسافة، ويُحسب كلاهما فوراً داخل المتصفح.

طريقة الحساب

نحسب القاسم المشترك الأكبر بخوارزمية إقليدس: نقسم العدد الأكبر على الأصغر ونأخذ الباقي، ثم نكرّر بالعدد الأصغر والباقي حتى يصبح الباقي صفراً، وآخر باقٍ غير صفري هو القاسم. لـ12 و18: 18 = 12×1 + 6، ثم 12 = 6×2 + 0، فالقاسم = 6. أما المضاعف المشترك الأصغر فنحسبه من العلاقة: المضاعف = (العدد الأول × العدد الثاني) ÷ القاسم المشترك الأكبر = (12 × 18) ÷ 6 = 36. لأكثر من عددين نطبّق العمليتين تدريجياً: قاسم/مضاعف أول عددين ثم مع العدد الثالث وهكذا. تُستخدم القيمة المطلقة للأعداد السالبة.

طريقة الاستخدام

أدخل الأعداد الصحيحة مفصولة بمسافة أو فاصلة.
اقرأ القاسم المشترك الأكبر (GCD) والمضاعف المشترك الأصغر (LCM) في النتيجة.

أخطاء شائعة

الخلط بين القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر.: القاسم يقسم الأعداد ويكون عادة أصغر منها؛ المضاعف تقسمه الأعداد ويكون عادة أكبر منها.
اختيار أي قاسم مشترك لا أكبر قاسم.: للعددين 12 و18 القاسمان 1 و2 و3 و6 مشتركة، لكن المطلوب الأكبر وهو 6.
ضرب العددين مباشرة واعتبار الناتج أصغر مضاعف دائماً.: هذا يصح للأعداد الأولية فيما بينها فقط؛ اقسم حاصل الضرب على القاسم المشترك الأكبر.
إدخال 2.5 ضمن القائمة ثم تقريبها يدوياً.: التقريب يغيّر المسألة. حوّل الكسور إلى أعداد صحيحة بضربها في مقام مشترك إن كان ذلك مناسباً.

متى لا تصلح هذه النتيجة

القيم الكسرية أو العشرية قبل تحويلها إلى أعداد صحيحة مكافئة.
مسائل التزامن التي تبدأ دوراتها في أوقات مختلفة؛ المضاعف وحده لا يحسب الإزاحة.
قوائم الوحدات المختلفة مثل دقائق وساعات قبل توحيد الوحدة.
الحسابات التي تتجاوز حدود الأعداد الصحيحة الآمنة.

أسئلة شائعة

ما الفرق بين القاسم المشترك والمضاعف المشترك؟: القاسم المشترك الأكبر هو أكبر عدد يقسم جميع الأعداد بلا باقٍ (يصغر أو يساوي أصغرها). المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد تقسمه جميع الأعداد بلا باقٍ (يكبر أو يساوي أكبرها).
كيف يُحسب القاسم والمضاعف لـ8 و12؟: القاسم المشترك الأكبر = 4 لأنه أكبر عدد يقسم 8 و12 معاً. المضاعف المشترك الأصغر = 24 لأنه أصغر عدد من مضاعفات الاثنين. وتحقّق: 8 × 12 = 96 = 4 × 24.
ماذا يحدث لو كان القاسم المشترك يساوي 1؟: هذا يعني أن الأعداد «أولية فيما بينها» أي لا تشترك في أي قاسم غير الواحد، وعندها يكون المضاعف المشترك الأصغر هو حاصل ضربها مباشرة. مثال: 8 و15 قاسمهما 1 ومضاعفهما 120.
هل يمكن إدخال أكثر من عددين؟: نعم، أدخل ثلاثة أعداد أو أكثر مفصولة بفاصلة أو مسافة، وتُحسب العمليتان على القائمة كلها بالتدريج.
كيف يتعامل الحساب مع الأعداد السالبة؟: يستخدم قيمتها المطلقة، لذلك −12 و18 يعطيان القاسم 6 والمضاعف 36. الإشارة لا تغيّر قابلية القسمة.
كيف أتحقق من نتيجتي لعددين؟: اضرب القاسم في المضاعف؛ يجب أن يساوي حاصل ضرب القيمتين المطلقتين. للعددين 12 و18: ‏6×36 = 216، وكذلك 12×18 = 216.
ماذا يعني إدخال الصفر مع عدد آخر؟: قاسم 0 والعدد ن هو |ن|، لأن كل عدد يقسم الصفر. أما المضاعف المشترك الأصغر فيكون 0 لأن الصفر مضاعف لكليهما.

هل ساعدتك هذه الأداة؟

المصادر

مصدر ثانويEncyclopædia Britannica — Greatest common divisorتعريف القاسم المشترك الأكبر وخوارزمية إقليدس وعلاقته بالمضاعف المشترك. روجِع 2026-06-08.
مصدر أوليNIST Digital Library of Mathematical Functions — Number theoryمرجع رياضي معياري تابع لـNIST يوثّق القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر. روجِع 2026-06-08.

آخر مراجعة: 2026-06-08