الرياضيات والأرقام
حل المعادلة التربيعية
أدخل معاملات المعادلة ax²+bx+c=0 لتحصل على المميِّز والجذور، سواء كانت حقيقية أو مركّبة، مع توضيح حالة كل نتيجة.
آخر تحديث: 2026-06-08مبني على 2 مصادر رسميةعرض المصادر
حل المعادلة التربيعية
الإجابة المختصرة
ما حل المعادلة س² − 5س + 6 = 0؟
للمعادلة جذران حقيقيان مختلفان: س = 3 وس = 2. المميِّز يساوي 1، وهو موجب، لذلك يعطي القانون العام قيمتين. ويمكن التحقق بالتعويض: 9 − 15 + 6 = 0 عند س=3، و4 − 10 + 6 = 0 عند س=2.
المعادلة
س = (−ب ± الجذر التربيعي لـ(ب² − 4أج)) ÷ (2أ)
المقدار داخل الجذر هو المميِّز. إشارته تحدد نوع الحل، ثم تعطي علامتا الجمع والطرح الجذرين. يجب نقل المعادلة أولاً إلى الصورة أس² + بس + ج = صفر.
مثال محلول
المدخل: أ=1، ب=−5، ج=6.
- المميِّز = (−5)² − 4×1×6 = 25 − 24 = 1.
- الجذر الأول = (5 + 1) ÷ 2 = 3.
- الجذر الثاني = (5 − 1) ÷ 2 = 2.
النتيجة: الجذران 3 و2، وطبيعة الحل جذران حقيقيان مختلفان.
حدود الاستخدام
- الأداة تحل معادلة بمتغير واحد وبالدرجة الثانية فقط.
- المعامل أ يجب ألا يساوي صفراً؛ عندها تصبح المعادلة خطية.
- القيم غير الصحيحة تُعرض مقربة إلى سبع منازل عشرية لا على صورة جذر رمزي.
إصدار المعادلة: quadratic-equation@2026.1آخر مراجعة: 2026-06-08Encyclopædia Britannica — Quadratic equationNIST Digital Library of Mathematical Functions — Algebraic equations
المعادلة التربيعية تظهر كلما تقاطع شيءٌ مع مربّعه: مسار كرة مقذوفة، مساحة قطعة أرض بطول يزيد على عرضها بمقدار معلوم، أو زمن سقوط جسم. شكلها العام أس² + بس + ج = صفر، وحلّها يعني إيجاد قيم س التي تحقّق المساواة. مفتاح الحل هو المميِّز: مقدار واحد يكشف قبل أي حساب آخر هل للمعادلة جذران مختلفان، أم جذر واحد مكرّر، أم لا حلّ حقيقي لها (فالجذران عندئذٍ عددان مركّبان). تحسب هذه الأداة المميِّز ثم تطبّق القانون العام لتعطي الجذرين كاملين، وتعرض في الحالة المركّبة الجزء الحقيقي والجزء التخيّلي منفصلين بدل أن تتوقّف عند «لا حلّ». أدخل المعاملات الثلاثة لتظهر النتيجة فوراً داخل المتصفح.
طريقة الحساب
نبدأ بالمميِّز d = ب² − ٤×أ×ج. مثال: لحل س² − ٥س + ٦ = صفر يكون أ=١ وب=−٥ وج=٦، فالمميِّز = ٢٥ − ٢٤ = ١، وهو موجب فالجذران حقيقيان مختلفان. ثم نطبّق القانون العام: س = (−ب ± الجذر التربيعي للمميِّز) ÷ (٢×أ) = (٥ ± ١) ÷ ٢ فتكون الجذور ٣ و٢. إذا كان المميِّز = صفر فالجذر حقيقي واحد مكرّر قيمته −ب ÷ (٢×أ). وإذا كان المميِّز سالباً فلا جذر حقيقي؛ يصبح الجزء الحقيقي لكل جذر = −ب ÷ (٢×أ)، والجزء التخيّلي = الجذر التربيعي لقيمة المميِّز المطلقة ÷ (٢×أ)، فيكون الجذران مترافقين مثل (الحقيقي ± التخيّليi). تشترط الأداة أن أ لا يساوي صفراً، وإلا فالمعادلة خطية لا تربيعية.
طريقة الاستخدام
- أدخل معاملات المعادلة التربيعية: أ وب وجـ من المعادلة أس² + بأس + جـ = 0.
- اقرأ قيم المميز (Δ) وجذري المعادلة (x₁، x₂) أو رسالة تفيد بعدم وجود جذور حقيقية.
أخطاء شائعة
- إدخال ب=5 للمعادلة س² − 5س + 6.
- إشارة المعامل جزء من قيمته؛ أدخل ب=−5 لأن الحد الخطي سالب.
- نسيان مساواة المعادلة بالصفر قبل استخراج المعاملات.
- انقل جميع الحدود إلى طرف واحد، ثم اقرأ أ وب وج من الصورة القياسية.
- حساب المميِّز على صورة ب² + 4أج.
- الإشارة الصحيحة سالبة: ب² − 4أج. تغيرها قد يقلب نوع الجذور كله.
- اعتبار المميِّز السالب دليلاً على عدم وجود أي حل.
- لا توجد جذور حقيقية، لكن يوجد جذران مركّبان مترافقان وتعرضهما الأداة.
متى لا تصلح هذه النتيجة
- المعادلات الخطية حين أ=0.
- المعادلات التكعيبية أو الأعلى درجة.
- أنظمة المعادلات التي تحتوي أكثر من متغير.
- الحاجة إلى حل رمزي دقيق بدلاً من تقريب عشري للجذور.
أسئلة شائعة
- ما المميِّز ولماذا يهم؟
- المميِّز هو المقدار ب² − ٤×أ×ج. إشارته تحدّد طبيعة الحل قبل إيجاده: موجب يعني جذرين حقيقيين مختلفين، صفر يعني جذراً حقيقياً واحداً مكرّراً، وسالب يعني جذرين مركّبين لا حقيقيين.
- كيف تُحل س² + س + ١ = صفر؟
- هنا أ=١ وب=١ وج=١، فالمميِّز = ١ − ٤ = −٣ وهو سالب، فلا حلّ حقيقي. الجزء الحقيقي لكل جذر = −٠٫٥، والجزء التخيّلي = الجذر التربيعي لـ ٣ ÷ ٢ ≈ ٠٫٨٦٦، فالجذران −٠٫٥ ± ٠٫٨٦٦i.
- لماذا يُرفض المعامل أ = صفر؟
- لأن اختفاء الحد التربيعي يحوّل المعادلة إلى خطية بس + ج = صفر، وحلّها س = −ج ÷ ب بطريقة مختلفة. هذه الأداة مخصّصة للمعادلات التربيعية فتشترط أ ≠ صفر.
- هل يمكن أن يكون للمعادلة جذر واحد فقط؟
- نعم، حين يكون المميِّز = صفر. عندها يتطابق الجذران في قيمة واحدة مكرّرة، مثل س² − ٤س + ٤ = صفر التي جذرها الوحيد ٢.
- كيف أتحقق من الجذر بعد ظهوره؟
- عوّض قيمته مكان س في المعادلة الأصلية. إذا كان الجذر صحيحاً يجب أن يساوي مجموع الحدود صفراً، مع مراعاة دقة التقريب.
- ماذا يعني الحرف i في الجذر المركّب؟
- هو الوحدة التخيلية التي يساوي مربعها −1. عندما يكون المميِّز سالباً يظهر جذران لهما الجزء الحقيقي نفسه وجزآن تخيليان متعاكسان.
- هل ترتيب الجذرين مهم؟
- لا في مجموعة الحل. الأداة تعرض الأكبر أولاً عند وجود جذرين حقيقيين، لكن تبديل الترتيب لا يغير حلول المعادلة.
هل ساعدتك هذه الأداة؟
المصادر
- مصدر ثانويEncyclopædia Britannica — Quadratic equationتعريف المعادلة التربيعية والقانون العام والمميِّز. روجِع 2026-06-08.
- مصدر أوليNIST Digital Library of Mathematical Functions — Algebraic equationsمرجع رياضي معياري تابع لـNIST يوثّق حلول المعادلات الجبرية والقانون العام. روجِع 2026-06-08.
آخر مراجعة: 2026-06-08