الرياضيات والأرقام
حل المعادلة التربيعية
أدخل معاملات المعادلة ax²+bx+c=0 لتحصل على المميِّز والجذور، حقيقية كانت أم مركّبة.
آخر تحديث: 2026-06-08مبني على 2 مصادر رسميةعرض المصادر
حل المعادلة التربيعية
المعادلة التربيعية تظهر كلما تقاطع شيءٌ مع مربّعه: مسار كرة مقذوفة، مساحة قطعة أرض بطول يزيد على عرضها بمقدار معلوم، أو زمن سقوط جسم. شكلها العام أس² + بس + ج = صفر، وحلّها يعني إيجاد قيم س التي تحقّق المساواة. مفتاح الحل هو المميِّز: مقدار واحد يكشف قبل أي حساب آخر هل للمعادلة جذران مختلفان، أم جذر واحد مكرّر، أم لا حلّ حقيقي لها (فالجذران عندئذٍ عددان مركّبان). تحسب هذه الأداة المميِّز ثم تطبّق القانون العام لتعطي الجذرين كاملين، وتعرض في الحالة المركّبة الجزء الحقيقي والجزء التخيّلي منفصلين بدل أن تتوقّف عند «لا حلّ». أدخل المعاملات الثلاثة لتظهر النتيجة فوراً داخل المتصفح.
طريقة الحساب
نبدأ بالمميِّز d = ب² − ٤×أ×ج. مثال: لحل س² − ٥س + ٦ = صفر يكون أ=١ وب=−٥ وج=٦، فالمميِّز = ٢٥ − ٢٤ = ١، وهو موجب فالجذران حقيقيان مختلفان. ثم نطبّق القانون العام: س = (−ب ± الجذر التربيعي للمميِّز) ÷ (٢×أ) = (٥ ± ١) ÷ ٢ فتكون الجذور ٣ و٢. إذا كان المميِّز = صفر فالجذر حقيقي واحد مكرّر قيمته −ب ÷ (٢×أ). وإذا كان المميِّز سالباً فلا جذر حقيقي؛ يصبح الجزء الحقيقي لكل جذر = −ب ÷ (٢×أ)، والجزء التخيّلي = الجذر التربيعي لقيمة المميِّز المطلقة ÷ (٢×أ)، فيكون الجذران مترافقين مثل (الحقيقي ± التخيّليi). تشترط الأداة أن أ لا يساوي صفراً، وإلا فالمعادلة خطية لا تربيعية.
أسئلة شائعة
- ما المميِّز ولماذا يهم؟
- المميِّز هو المقدار ب² − ٤×أ×ج. إشارته تحدّد طبيعة الحل قبل إيجاده: موجب يعني جذرين حقيقيين مختلفين، صفر يعني جذراً حقيقياً واحداً مكرّراً، وسالب يعني جذرين مركّبين لا حقيقيين.
- كيف تُحل س² + س + ١ = صفر؟
- هنا أ=١ وب=١ وج=١، فالمميِّز = ١ − ٤ = −٣ وهو سالب، فلا حلّ حقيقي. الجزء الحقيقي لكل جذر = −٠٫٥، والجزء التخيّلي = الجذر التربيعي لـ ٣ ÷ ٢ ≈ ٠٫٨٦٦، فالجذران −٠٫٥ ± ٠٫٨٦٦i.
- لماذا يُرفض المعامل أ = صفر؟
- لأن اختفاء الحد التربيعي يحوّل المعادلة إلى خطية بس + ج = صفر، وحلّها س = −ج ÷ ب بطريقة مختلفة. هذه الأداة مخصّصة للمعادلات التربيعية فتشترط أ ≠ صفر.
- هل يمكن أن يكون للمعادلة جذر واحد فقط؟
- نعم، حين يكون المميِّز = صفر. عندها يتطابق الجذران في قيمة واحدة مكرّرة، مثل س² − ٤س + ٤ = صفر التي جذرها الوحيد ٢.
هل ساعدتك هذه الأداة؟
المصادر
- مصدر ثانويEncyclopædia Britannica — Quadratic equationتعريف المعادلة التربيعية والقانون العام والمميِّز. روجِع 2026-06-08.
- مصدر أوليNIST Digital Library of Mathematical Functions — Algebraic equationsمرجع رياضي معياري تابع لـNIST يوثّق حلول المعادلات الجبرية والقانون العام. روجِع 2026-06-08.
آخر مراجعة: 2026-06-08